Применение математических методов моделирования в биомеханике, в частности в стоматологии, имеет большое научное и практическое значение. В стоматологической практике необходимо знать распределение нагрузки на опоры при конструировании различных протезов и приспособлений для выполнения жевательной функции, в том числе и мостовидных. Определена кинематика зуба как абсолютно твердого тела, жестко связанного с периодонтом. Периодонт представляет собой упругую оболочку, ограниченную двумя составными эллиптическими гиперболоидами, один из которых закреплен, а другой жестко связан с зубом.

Распределение нагрузки на опоры определяется реакциями, которые в общем случае имеют шесть составляющих: три силы R_x, R_y, R_z и три пары сил с моментами m_x, т_y, m_z. При решении этой задачи предполагаем, что мостовидный протез представляет собой абсолютно твердое тело вместе с корнями зубов, которые служат упругими податливыми опорами. Жесткость опор определяется жесткостью периодонта, т.е. упругой прослойкой, находящейся между корнем зуба и костной тканью челюсти.

Жесткость зубов была определена при помощи модели, состоящей из двух эллиптических гиперболоидов, состыкованных в вершинах полуэллипсов поперечного сечения корня зуба. Рассматривая мостовидный протез с четырьмя опорами, составили 6 уравнений равновесия: три уравнения проекций сил на оси координат и три уравнения моментов сил относительно осей координат. Так как составляющие реакций опор пропорциональны соответствующим жесткостям, то второе и пятое уравнения сразу определили реакции опор, а также перемещение вдоль оси у и поворот вокруг этой оси j_y.

Для определения остальных составляющих реакций опор использовали уравнения совместности из условий равенства углов поворота для каждой опоры. В результате получили зависимости между моментами и силами реакций опор. Анализ показал, что система распалась на две группы уравнений, решаемых независимо друг от друга. Первая группа определяет вертикальные составные реакции опор, а вторая - горизонтальные составляющие реакций.

Полученные формулы позволяют вычислить реакции всех опор и перемещения четырехопорного, трехопорного, двухопорного и одноопорного протезов. Если опорами протеза служат многокорневые зубы (двух, трех), то жесткости таких опор складываются из жесткостей каждого корня в отдельности. При ортодонтических вмешательствах приходится перемещать и поворачивать зубы в различных направлениях. Полученные формулы позволяют вычислять эти перемещения в зависимости от приложенной нагрузки и проводить адекватное аппаратурное ортодонтическое лечение.

Применение методов математического моделирования позволит проводить планирование, конструирование и прогнозирование ортопедического лечения с учетом реальной клинической ситуации.